10 de mai de 2016

Quadrado Mágico.



Um quadrado mágico em A Melancolia, de Albrecht Dürer, 1514.


Quadrado Mágico é uma abela quadrada de números em progressão aritmética em que a soma de cada coluna, de cada linha e das duas diagonais são iguais.[1]


Veja o exemplo:


\,\!
\begin{matrix}
&&&&15\\
&&&\nearrow&\\
2&7&6&\rightarrow&15\\
9&5&1&\rightarrow&15\\
4&3&8&\rightarrow&15\\
\downarrow&\downarrow&\downarrow&\searrow&\\
15&15&15&&15
\end{matrix}





Sua origem não é conhecida, mas há registros de sua existência em épocas anteriores à nossa era na China e na Índia. O quadrado de 9 casas (3 x 3) é encontrado pela primeira vez num manuscrito árabe, no fim do Século VIII, e atribuído a Apolônio de Tiana (I Século) por Marcellin Berthelot.[2]

Na Idade Média os quadrados mágicos se tornaram muito populares pelo seu uso em Pantáculos e Talismãs, onde eram associados a Planetas que atribuíam a eles o poder de atrair proteção astral para seus detentores.

Classificações:

Existem certos modelos de quadrados mágicos que recebem uma classificação especial devido a suas singularidades. São eles:
  • Imperfeito ou Defeituoso
O que não obedece a todas as regras de um quadrado mágico. Por exemplo, um quadrado mágico onde a soma das linhas e colunas são iguais, mas a das diagonais não;
  • Hipermágico
O que tem certas propriedades adicionais, além de obedecer às regras básicas. Por exemplo, um quadrado mágico onde, trocando-se duas colunas de lugar, forma-se um outro quadrado mágico; e
  • Diabólico
É um quadrado hipermágico com muitas propriedades ou com propriedades muito complexas. O nome diabólico tem sua provável origem na dificuldade em se formá-lo.

Dicas:

Dicas para solucionar o quadrado mágico 3x3:
  1. O total que se quer obter em todos os sentidos deverá ser dividido por 3. O que resultará no número a ser colocado no centro do quadrado.
  2. Os números a serem colocados nos cantos deverão ser pares se o centro for ímpar, ou vice e versa.
  3. O último número a ser colocado deverá ser o centro mais 4.
Essas regras só valem se os números forem múltiplos de 3. Ex: 15, 18, 21, 24, 27, 30 etc.

Quadrado de Dürer:

O chamado “Quadrado de Dürer” é um Quadrado Mágico representado no canto superior direito da gravura Melancholia, obra do pintor e ilustrador alemão Albrecht Dürer, que também teve interesse em matemática, geometria, geografia e arquitetura. Aqui se apresenta a disposição dos números no quadrado:
163213
510118
96712
415141
Detalhe canto direito superior de/ A Melancolia
Detalhe direito superior de Melancolia I

Melancolia I (1514) Gravura

Trata-se de um quadrado mágico 4 x 4 com os números de 1 a 16, o qual apresenta as seguintes particularidades
  • Na linha inferior, nas duas casas centrais, estão lado a lado os números 15 e 14 formando 1514, data da confecção da obra.
  • Nessa mesma linha, nos quadrados extremos, estão os números 4 (a 4ª letra é D) e 1 (a 1ª letra é A), de “Dürer, Albrecht”.
  • A soma dos números de qualquer das linhas é sempre 34
  • A soma dos números de qualquer das duas diagonais do quadro é também 34
  • A soma dos 4 números que ficam nos cantos do quadrado é 34
  • A soma dos 4 números das 4 casas centrais é 34
  • A soma dos 2 números centrais da linha do alto com os 2 centrais da linha de baixo é 34
  • A soma dos 2 números centrais da coluna direita com os 2 centrais da coluna esquerda é 34
  • A soma dos números dos dois quadrados contíguos à casa extrema esquerda em cima com aqueles dos dois contíguos à casa extrema direita em baixo é 34
  • A soma dos números dos dois quadrados contíguos à casa extrema direita em cima com aqueles dos dois contíguos à casa extrema esquerda em baixo é 34. (ver abaixo estas 2 últimas somas)
Em negrito 3 + 5 + 12 + 14 = 34; em itálico 2 + 8 + 9 + 15 = 34
163(2)13
51011(8)
(9)6712
4(15)141

  • Curiosidade:O quadrado de Dürer foi usado no livro de Dan Brown o símbolo perdido
  • A Editora 34 trás em seus livros o quadrado de Dürer.

Na Astrologia:

Eis a relação entre as casas e os planetas:
  • Quadrado de 3, compreendendo 9 casas: Saturno;42
  • Quadrado de 4, compreendendo 16 casas: Júpiter;
  • Quadrado de 5, compreendendo 25 casas: Marte;
  • Quadrado de 6, compreendendo 36 casas: Sol
  • Quadrado de 7, compreendendo 49 casas: Vênus;
  • Quadrado de 8, compreendendo 64 casas: Mercúrio;
  • Quadrado de 9, compreendendo 81 casas: Lua;
  • Quadrado de 10, compreendendo 100 casas: Terra
Saturno=15
492
357
816
Júpiter=34
414151
97612
511108
162313
Marte=65
11247203
41225816
17513219
101811422
23619215
Sol=111
632334351
7112728830
191416152324
182022211713
25291092612
365334231
Vênus=175
2247164110354
5234817421129
3062449183612
1331725431937
3814321264420
213983322745
461540934328
Mercúrio=260
858595462631
4915145253111056
4123224445191848
3234352928383925
4026273736303133
1747462021434224
955541213515016
642361606757
Lua=369
37782970216213545
63879307122631446
47739803172235515
16488408132642456
57174994173336525
26581850142743466
67275910512437535
36681960115234476
77286920611253445
Terra = 505
Terra = 505
1999849567939210
90121387168584181981
80222327757674282971
31696834366537636240
50495347454657585941
51524854555644434260
61393864663567333270
30727377262524787921
20828317861514888911
9198945969732100

Referências

  1. Ir para cima Charles Hutton, A philosophical and mathematical dictionary (1815), Magical Square [google books]
  2. Ir para cima Marcelin Berthelot, Collection des anciens alchimistes grecs (3 vol., Paris, 1887–1888).
  • BAYARD, Jean-Pierre. Os Talismãs: Psicologia e poderes dos símbolos de proteção. São Paulo: Editora Pensamento, 1985 (ISBN 85-315-0647-6).
  • BOUCHER. Jules. A Simbólica Maçônica: Segundo as Regras da Simbólica Tradicional. 11.ª Edição - São Paulo: Editora Pensamento. 2006. (ISBN 85-315-0625-5).
Fonte: https://pt.wikipedia.org/wiki/Quadrado_m%C3%A1gico

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